Question

已知数列{a_n}的前n项和s_n，点（n，s_n）（n∈N^*）在函数y=

1

2

x²+

1

2

x的图象上
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设数列{

1

anan+2

}的前n项和为T_n，不等式T_n＞

1

3

log_a（1-a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）Sn=

1

2

n2+

1

2

n，再写一式，即可求{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知a_n=n，利用裂项法可求

1

anan+2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），从而可求得T_n═

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]，由T_n+1-T_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，可判断数列{T_n}单调递增，从而可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）∵(n，Sn)在函数f(x)=

1

2

x2+

1

2

x的图象上，∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n①
当n≥2时，Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)②
①-②得a_n=n
当n=1时，a1=S1=

1

2

+

1

2

=1，符合上式，
∴a_n=n；
（2）由（1）知a_n=n，则

1

anan+2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴T_n═

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）．
∵T_n+1-T_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴数列{T_n}单调递增，
∴（T_n）_min=T₁=

1

3

．
要使不等式T_n＞

1

3

log_a（1-a）对任意正整数n恒成立，只要

1

3

＞

1

3

log_a（1-a）．
∵1-a＞0，
∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列{T_n}的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题．