题目内容

已知函数f（x）=2
3
cos2x-2sin2（
π
4
-x）-
3

（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
6
]上的最大值．
考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,三角函数的最值
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+
π
3
）-1，由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
 可求得增区间．
（2）由x∈[0，
π
6
]可得2x+
π
3
∈[
π
3
，
2π
3
]所以得当2x+
π
3
=
π
2
，x=
π
12
时，f（x）的最大值为1．
解答： 解：（1）f（x）=
3
（1+cos2x）-[1-cos（
π
2
-2x）]-
3
 
=
3
cos2x+sin2x-1=2sin（2x+
π
3
）-1，
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
   
得：增区间为[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z 
（2）∵x∈[0，
π
6
]，∴2x+
π
3
∈[
π
3
，
2π
3
]
所以，当2x+
π
3
=
π
2
，x=
π
12
时，f（x）的最大值为1．
点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，三角函数的最值的求法，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
x=1-
2
2
t
y=-3+
2
2
t
，（t∈R，t为参数），则直线l的纵截距是
 
．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2（其中a＞0）上任意一点与点P（0，
1
4a
）的距离等于它到直线y=-1的距离．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点M的坐标为（0，2），N为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
若关于x，y的不等式组
x+y-2＜0
x+a＞0
y-a＞0
所表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0+2y0＜1，则实数a的取值范围是
 
．
设x，y满足约束条件
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x≥0，y≥0
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则直线ax+by+1=0必过定点（　　）
A、(
1
3
，
1
2
)
B、(
1
2
，
1
3
)
C、(-
1
3
，-
1
2
)
D、(-
1
2
，-
1
3
)
若sinα=-
2
2
，且cos（α-β）=
1
2
（β＞0），则满足上述条件的β的最小值为
 
．
在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足：2Sn2=an（2Sn-1）．
（Ⅰ）求证：数列{
1
Sn
}是等差数列，并用n表示Sn；
（Ⅱ）令bn=
Sn
2n+1
，数列{bn}的前n项和为Tn．求使得2Tn（2n+1）≤m（n2+3）对所有n∈N*都成立的实数m的取值范围．
椭圆的焦点将长轴分成2：1，则e=
 
．
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≥b”是“sinA≥sinB”的（　　）
A、充分必要条件
B、充分而非必要条件
C、必要非充分条件
D、非充分非必要条件

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