Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0））的渐近线与圆（x-3）²-y²=4相切，且双曲线以该圆的圆心为焦点，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，由圆的方程可得圆心坐标以及半径，进而分析可得c=r=2，即a²+b²=4和$\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，解可得a、b的值，将其代入双曲线的方程计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即bx±ay=0，
圆（x-3）²-y²=4的圆心为（3，0），半径r=2，
由于双曲线以该圆的圆心为焦点，则有c=r=2，即a²+b²=4，
又由双曲线的渐近线与圆（x-3）²-y²=4相切，则有$\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，解可得b=2，
则a²=5；
故双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线方程．