Question

13．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，∠DAB=45°，点E为BC的中点，$\overrightarrow{FC}$=3$\overrightarrow{DF}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的值是（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 画出图形，根据条件即可得出$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{CF}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，进而求出$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，这样带入$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$，进行数量积的运算即可．

解答 解：如图，
E为BC中点；
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$；
$\overrightarrow{FC}=3\overrightarrow{DF}$；
∴$\overrightarrow{CF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{5}{8}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{4}×4+\frac{1}{2}×2$
=$-\frac{3}{4}$．
故选D．

点评 考查向量数乘的几何意义，共线向量基本定理，以及向量数量积的运算及计算公式．