Question

已知

a

=（sinωx，

3

sinωx），

b

=（sinωx，sin（

π

2

+ωx）），（ω＞0），f（x）=

a

•

b

-

1

2

且f（x）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（α）=

4

5

（

π

3

≤a≤

7

12

π），求sin2α值；
（Ⅲ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=-

π

2

对称，且方程g（x）-k=0在区间[-

3

2

π，-π]上有解，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由题意利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式为 f（x）=sin（2ωx-

π

6

），再根据f（x）的周期为π，求得ω的值．
（Ⅱ）根据f（α）=sin（2α-

π

6

）=

4

5

（

π

3

≤a≤

7

12

π），求得cos（2α-

π

6

）的值，再根据 sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]利用两角和的正弦公式计算求得结果．
（Ⅲ）由于区间[-

3

2

π，-π]关于直线x=-

π

2

的对称区间是[0，

π

2

]，本题即求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得 f（x）=

a

•

b

-

1

2

=sin²ωx+

3

sinωx•cosωx
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），且f（x）的周期为π=

2π

2ω

，求得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x-

π

6

），根据f（α）=sin（2α-

π

6

）=

4

5

（

π

3

≤α≤

7

12

π），
可得 2α-

π

6

∈[

π

2

，π]，∴cos（2α-

π

6

）=-

3

5

．
∴sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]=sin（2α-

π

6

）cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

+（-

3

5

）×

1

2

=

4 3 -3

10

．
（Ⅲ）由于函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=-

π

2

对称，
区间[-

3

2

π，-π]关于直线x=-

π

2

的对称区间是[0，

π

2

]，
故本题即求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．
令t=2x-

π

6

，∵x∈[0，

π

2

]，可得t∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sint∈[-

1

2

，1]，
即k的范围为[-

1

2

，1]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域、周期性，体现了转化的数学思想，属于基础题．