Question

已知函数f（x）=2

2

cosxsin（x+

π

4

）-1（x∈R）．则函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值分别是（　　）

• A、最大值为

  2

  ，最小值为-1
• B、最大值为

  2

  ，最小值为-

  2

• C、最大值为2

  2

  -1，最小值为-2

  2

  -1
• D、最大值为1，最小值为-1

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：运用两角和的正弦公式和二倍角公式，化简f（x），再由x的范围，运用正弦函数的图象和性质，即可得到最值．

解答： 解：函数f（x）=2

2

cosxsin（x+

π

4

）-1
=2

2

cosx（

2

2

sinx+

2

2

cosx）-1=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
由于x∈[-

π

4

，

π

4

]，即有2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
即x=-

π

4

时，取得最小值，且为-1，
x=

π

8

时，取得最大值，且为

2

．
故选A．

点评：本题考查三角函数的化简和求最值，考查两角和的正弦公式和二倍角公式，以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．