Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，已知a₁=l，．且a₁，a₂，a₅依次成等比数列．数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1且b_n=3．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

2

an•an+1

}的前n项和为S_n，试比较S_n与1一

1

bn

的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由等差数列的项a₁，a₂，a₅依次成等比数列列式求得公差，则等差数列的通项公式可求．由数列{b_n}的递推式构造出等比数列{b_n-1}，求出其通项公式后可得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入数列{

2

an•an+1

}，利用裂项相消法求出其钱n项和与1-

1

bn

作差后根据n的范围得到S_n与1-

1

bn

的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，且a₁，a₂，a₅依次成等比数列，
∴

a

2 2

=a1•a5，即（1+d）²=1•（1+4d），
∴d²-2d=0，解得d=2（d=0不合要求，舍去）．
则a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵b_n+1=2b_n-1，
∴b_n+1-1=2（b_n-1）．
∴{b_n-1}是首项为b₁-1=2，公比为2的等比数列．
∴bn-1=2•2n-1=2n．
则bn=2n+1；
（Ⅱ）∵

2

an•an+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

．
∴Sn=(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

，
于是Sn-(1-

1

bn

)=1-

1

2n+1

-1+

1

2n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1

=

2n-2n

(2n+1)(2n+1)

．
∴当n=1，2时，2n=2ⁿ，S_n=1-

1

bn

；
当n≥3时，2n＜2ⁿ，S_n＜1-

1

bn

．

点评：本题考查了由数列递推式求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了作差法证明数列不等式，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．