Question

17．根据条件求抛物线的标准方程．
（1）抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x+y+2=0上；
（2）抛物线的顶点在原点，焦点是圆x²十y²-4x=0的圆心．

Answer 1

分析 （1）求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．
（2）抛物线顶点在原点，圆x²十y²-4x=0的圆心是抛物线的焦点，故先求咄圆心，再求抛物线的方程即可．

解答 解：（1）直线x+y+2=0交x轴于点A（-2，0），与y轴交于点B（0，-2）；
①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y²=-2px，（p＞0），可得2p=8，
∴抛物线方程为y²=-8x；
②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x²=-2p'y，（p'＞0），可得2p'=8，
∴抛物线方程为x²=-8y
综上所述，得此抛物线方程为y²=-8x或x²=8y；
（2）由圆的方程x²十y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4可知，圆心为F（2，0），
半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F（2，0），
抛物线方程为y²=8x．

点评 本题给出抛物线的焦点坐标，求它的标准方程，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．