Question

5．已知3cos²α+2cos²β=2cosα，求sin²α+cos²β取值范围．

Answer 1

分析 消去cos²β，利用余弦函数的有界性以及二次函数的性质求解即可．

解答 解：3cos²α+2cos²β=2cosα，2cos²β=2cosα-3cos²α∈[0，2]，∴$cosα∈[0，\frac{2}{3}]$
sin²α+cos²β=sin²α+cosα-$\frac{3}{2}$cos²α=$-\frac{5}{2}$cos²α+cosα+1=$-\frac{5}{2}$（cosα$-\frac{1}{5}$）²+$\frac{11}{10}$．
∵$cosα∈[0，\frac{2}{3}]$，cosα=$\frac{1}{5}$时表达式取得最大值：$\frac{11}{10}$．
cosα=$\frac{2}{3}$时，表达式取得最小值：$\frac{5}{9}$．
∴$-\frac{5}{2}$（cosα$-\frac{1}{5}$）²+$\frac{11}{10}$∈[$\frac{5}{9}$，$\frac{11}{10}$]．
sin²α+cos²β取值范围：[$\frac{5}{9}$，$\frac{11}{10}$]．

点评 本题考查三角函数最值的求法，二次函数的性质的应用，考查计算能力．