Question

3．椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$上有动P（m，n），则m+2n的取值范围为[-6$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，设出P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则m+2n=6cosα+6sinα=6$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα），由两角和的正弦公式以及正弦函数的值域，计算即可得到所求范围．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$的a=6，b=3，
P在椭圆上，可设P（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），
则m+2n=6cosα+6sinα=6$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）
=6$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由0≤α＜2π，可得$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{9π}{4}$，
即有sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
则m+2n的范围是[-6$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$]．
故答案为：[-6$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，考查正弦函数的值域的运用，属于基础题．