Question

3．如图是某社区的部分规划设计图，住宅区一边的边界曲线记为C，步行街（宽度不计）所在直线L与曲线C相切于点M，以点E为圆心，1百米为半径的圆的四分之一为大型超市，为方便住宅区居民购物休闲，该社区计划在步行街与大型超市之间铺设一条连接道路AB（宽度不计）以及修建花园广场．
根据相关数据，某同学建立了平面直角坐标系xOy，曲线C用函数模型y=e^x-1+kx+b（k，b为常数）拟合．并求得直线l：y=2x，M（1，2），E（2$\sqrt{5}$，0），单位：百米．点A在l上，点B在$\widehat{FG}$上
（1）求曲线C的方程和AB的最短距离；
（2）若过点A作AP垂直于x轴，垂足为P，在空地△APB内截取一个面积最大的矩形，用来修建一个花园广场．要求矩形的一边在AB上．在连接道路AB最短时，求花园广场的面积．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义列不等式组，得出k和b，求出E到直线l的距离即可得出AB的最短距离；
（2）求出直线AB的方程，计算P到直线AB的距离，利用相似三角形得出矩形花园广场的两边x，y的关系，利用二次函数的性质和x的范围得出花园广场的面积．

解答 解：（1）∵y=e^x-1+kx+b与y=2x相切于点M（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+k+b=2}\\{1+k=2}\end{array}\right.$，解得k=1，b=0，
∴曲线C的方程为y=e^x-1+x，
点E（2$\sqrt{5}$，0）到直线l的距离为d=$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=4，圆E的半径r=1，
∴|AB|的最短距离为d-r=3百米．
（2）由（1）可知|AB|最短时，A，B，E三点共线且，AB⊥l，
设A（x，2x），则$\frac{2x}{x-2\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴A（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），P（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0），
直线AB的方程为：y=y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．即x+2y-2$\sqrt{5}$=0．
∴P到直线AB的距离为$\frac{|\frac{2\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5}$．
设矩形花园广场在AB上的边长为x（0＜x＜3），另一边为y，则$\frac{x}{3}=\frac{\frac{8}{5}-y}{\frac{8}{5}}$，即y=$\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$．
∴矩形花园的面积S=xy=x（$\frac{8}{5}-\frac{8x}{15}$）=-$\frac{8}{15}$x²+$\frac{8}{5}$x=-$\frac{8}{15}$x（x-3）．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S取得最大值$\frac{6}{5}$．
即矩形花园广场的面积为$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数最值的计算，属于中档题．