Question

命题P：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为空集．命题Q：函数y=（2a²-a）^x为增函数．P、Q中有且只有一个是真命题，求a的范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：

分析：由命题P：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为空集．可得△＜0．由命题Q：函数y=（2a²-a）^x为增函数．可得2a²-a＞1．由于P、Q中有且只有一个是真命题，则必然一真一假，分类讨论即可得出．

解答： 解：由命题P：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为空集．∴△=（a-1）²-4a²＜0，解得a＞

1

3

或a＜-1．
由命题Q：函数y=（2a²-a）^x为增函数．∴2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

．
∵P、Q中有且只有一个是真命题，
∴当P真Q假时，

a＞ 1 3 或a＜-1 - 1 2 ≤a≤1

，解得

1

3

＜a≤1．
当Q真P假时，

-1≤a≤ 1 3 a＞1或a＜- 1 2

，解得-1≤a＜-

1

2

．
综上可得：a的取值范围是：

1

3

＜a≤1，或 -1≤a＜-

1

2

．

点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、指数函数的单调性、复合命题的真假，考查了推理能力和计算能力，属于难题．