Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若$\overrightarrow{HM}$•$\overrightarrow{HN}$=-$\frac{1}{2}$，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
（3）已知l₁，l₂是过点A的两条互相垂直的直线，直线l₁与圆O：x²+y²=4相交于P，Q两点，直线l₂与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=1，c=$\sqrt{3}$，由a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）设M（m，n），即有H（m，0），N（-m，-n），（m，n＞0），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，n，求出NH的方程，代入椭圆方程，可得J的坐标，求得NJ的中点坐标和半径，可得圆的方程；
（3）设l₂：y=kx-1，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和弦长公式，再由三角形的面积公式，运用配方和二次函数的最值的求法，即可得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意可得|AB|=2，即b=1，
△ABF为等边三角形，可得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2=$\sqrt{3}$，
a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设M（m，n），即有H（m，0），N（-m，-n），（m，n＞0），
由$\overrightarrow{HM}$•$\overrightarrow{HN}$=-$\frac{1}{2}$，即为（0，n）•（-2m，-n）=-$\frac{1}{2}$，
即有-n²=-$\frac{1}{2}$，解得n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
代入椭圆方程可得，$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$=1，
可得m=$\sqrt{2}$，即有N（-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），H（$\sqrt{2}$，0），
直线NH：y=$\frac{1}{4}$（x-$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，可得
5x²-2$\sqrt{2}$x-14=0，
由-$\sqrt{2}$•x_J=-$\frac{14}{5}$，解得x_J=$\frac{7\sqrt{2}}{5}$，
y_J=$\frac{1}{4}$（$\frac{7\sqrt{2}}{5}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
J（$\frac{7\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{10}$），NJ中点为（$\frac{\sqrt{2}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{5}$），
圆的半径为r=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{2}}{5}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{10}$，
即有所求圆的方程为（x-$\frac{\sqrt{2}}{5}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{5}$）²=$\frac{153}{50}$；
（3）设l₂：y=kx-1，代入椭圆方程可得，
（1+4k²）x²-8kx=0，解得x_R=$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，y_R=$\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}$，
则|AR|=$\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{64{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
由题意可得直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$x-1，
由弦长公式可得|PQ|=2$\sqrt{4-（\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{4+3{k}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△PQR面积为S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|AR|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{4+3{k}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{8|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$
=8•$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}•（4+3{k}^{2}）}$，
令1+4k²=t（t≥1），即有k²=$\frac{t-1}{4}$，
则S=2$\sqrt{\frac{3{t}^{2}+10t-13}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{3+\frac{10}{t}-\frac{13}{{t}^{2}}}$
=2$\sqrt{-13（\frac{1}{t}-\frac{5}{13}）^{2}+\frac{64}{13}}$，
可得$\frac{1}{t}$=$\frac{5}{13}$，即有t=$\frac{13}{5}$，即为k=±$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即有直线l₂的方程为y=±$\frac{\sqrt{10}}{5}$x-1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的a，b，c的关系，考查圆的方程的求法，注意运用向量数量积的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程求交点，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用弦长公式和换元法，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．