Question

9．（1）已知（1+2x）ⁿ的展开式中第6项和第7项的系数相等，求n及二项式系数的最大项．
（2）已知${（2-\sqrt{3}x）^{50}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{50}}{x^{50}}$，求 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²的值．

Answer 1

分析 （1）利用（1+2x）ⁿ展开式中的第6项和第7项系数相等，求出n的值，从而求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）用赋值法，分别令x=1和x=-1，求出（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀）•（a₀-a₁+a₂ -a₃+a₄+…-a₄₉+a₅₀）的值即可．

解答 解：（1）（1+2x）ⁿ的展开式中第6项和第7项的系数相等，
即C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，
化简得1=$\frac{n-5}{6}$×2，
解得n=8，
所以展开式中二项式系数最大的项是第5项：
为${C}_{8}^{4}$•（2x）⁴=70×16x⁴=1120x⁴；
（2）在${（2-\sqrt{3}x）^{50}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{50}}{x^{50}}$中，
令x=1，得${（2-\sqrt{3}）}^{50}$=a₀+a₁+a₂+…+a₅₀，…①
令x=-1，得${（2+\sqrt{3}）}^{50}$=a₀-a₁+a₂-…+a₅₀，…②
①②相乘得
（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀）•（a₀-a₁+a₂ -a₃+a₄+…-a₄₉+a₅₀）
=（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²
=[（2-$\sqrt{3}$）（2+$\sqrt{3}$）]⁵⁰，
=1⁵⁰
=1．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用问题，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简化运算，也考查了二项展开式的通项公式问题，是综合性题目．