Question

17．设某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 6π
• C． 8π
• D． 10π

Answer 1

分析 作出三棱锥的直观图，根据三视图数据计算外接球半径，从而得出面积．

解答 解：根据三视图作出棱锥的直观图如图所示，
由三视图可知底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=2，PA⊥平面ABC，PA=2．
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
取AC的中点D，PC的中点O，连结OD，BD，OB，则OD∥PA，OD=$\frac{1}{2}$PA=1，BD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴OD⊥平面ABC，∴OA=OC=OP=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$．
∴OA=OB=OC=OP=$\sqrt{2}$，
即三棱锥的外接球球心为O，半径为$\sqrt{2}$．
∴外接球的面积S=4π×（$\sqrt{2}$）²=8π．
故选C．

点评 本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥与外接球的计算，属于中档题．