Question

4．点（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥1\\ x+y≤3\end{array}\right.$，则x²+y²-8x-10y的取值范围为[-23，-16]．

Answer 1

分析 利用配方法结合两点间的距离公式将x²+y²-8x-10y进行转化，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：x²+y²-8x-10y=（x-4）²+（y-5）²-41，
设m=（x-4）²+（y-5）²，
则m的几何意义是区域内的点到点D（4，5）的距离的平方，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则由图象知D到直线AB：x+y=3的距离最小，
此时d=$\frac{|4+5-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
则d²=（3$\sqrt{2}$）²=18，
D到C的距离最大，此时d=|CD|=$\sqrt{（4-1）^{2}+（5-1）^{2}}$=$\sqrt{9+16}$=$\sqrt{25}$=5，
则d²=25，
即18≤m≤25，
则-23≤m-41≤-16，
即x²+y²-8x-10y的取值范围为[-23，-16]，
故答案为：[-23，-16]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式是解决本题的关键．