Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E为线段PC上靠近D的一个三等分点．
（1）证明：PC⊥面BDE；
（2）求三棱锥P-BED的体积V．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明OE⊥PC，由PA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得PA⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到PC⊥平面BDE；
（2）利用V_P-BED=V_P-BCD-V_E-BCD，可得结论．

解答： （1）证明：设AC∩BD=O，连接OE，
根据题意，△PAC中，PA=1，AC=

2

，PC=

3

，则EC=

3

3

，OC=

2

2

，
∴

EC

OC

=

AC

PC

=

6

3

，∠ECO=∠ACP，
∴△ECO∽△ACP，
∴OE⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，又BD?平面ABC
∴PA⊥BD，∵AC⊥BD，又AP∩AC=A
∴BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE；
（2）解：∵E为线段PC上靠近D的一个三等分点，
∴E到底面ABCD的距离为

1

3

，
∴V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×

1

3

=

1

18

，
∵V_P-BCD=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，
∴V_P-BED=V_P-BCD-V_E-BCD=

1

6

-

1

18

=

1

9

．

点评：熟练掌握线线，线面垂直之间的转化关系，掌握锥体的体积公式是关键．