Question

设f（x）=e^x-ax-a．
（Ⅰ）若f（x）≥0对一切x≥-1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+

a

ex

，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

（2n）ⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

考点：不等式的证明,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）分离参数求最值，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁g（x₁）-mx₁，令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分离出参数m后转化为求函数最值即可；
（Ⅲ）证明不等式可变为(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+(

5

2n

)n+…+(

2n-3

2n

)n+(

2n-1

2n

)n＜

e

e-1

，由（Ⅰ） 知1+x≤e^x（x=0时取等号），在此不等式中，赋值、变形、相加，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-a（x+1），∴a≤

ex

x+1

（x＞-1），
令h（x）=

ex

x+1

，则h′（x）=

xex

(x+1)2

∴h（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（0）=1（x＞-1）
∴a≤1，
x=-1时也满足，
∴a≤1；
（Ⅱ）解：设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁＜x₂，
则g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∴不妨令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴对任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′（x）=e^x-a-

a

ex

≥2

-a

-a=（

-a

+1）²-1≥3，
故m≤3；
（Ⅲ）证明不等式可变为(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+(

5

2n

)n+…+(

2n-3

2n

)n+(

2n-1

2n

)n＜

e

e-1

由（Ⅰ） 知1+x≤e^x（x=0时取等号），在此不等式中
取x=-

1

2n

得：1-

1

2n

＜e- 

1

2n

变形得：(

2n-1

2n

)n＜e-

1

2

取x=-

3

2n

得：1-

3

2n

＜e- 

3

2n

变形得：(

2n-3

2n

)n＜e-

3

2

…
取x=-

2n-1

2n

得1-

3

2n

＜e-

3

2n

变形得：(

1

2n

)n＜e-

2n-1

2

，
将以上不等式相加可得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

（2n）ⁿ（n∈N^*）．

点评：本题考查函数的单调性，函数的最值问题，求参数的范围，不等式的证明，导数的应用，有一定的难度．