Question

已知等差数列{a_n}及等比数列{b_n}，其中b₁=1，公比q＜0，且数列{a_n+b_n}的前三项分别为2、1、4．
（Ⅰ）求a_n及q；
（Ⅱ）求数列{a_n+b_n}的前n项和P_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n+b_n}的前三项分别为2、1、4，建立方程，即可求a_n及q；
（Ⅱ）利用分组求和，即可求数列{a_n+b_n}的前n项和P_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，则
∵数列{a_n+b_n}的前三项分别为2、1、4，
∴a₁+1=2，a₁+d+q=1，a₁+2d+q²=4，
∴a₁=1，q=-1或3，
∵q＜0，
∴q=-1，d=1，
∴a_n=n；
（Ⅱ）等差数列{a_n}的前n项和为

n(n+1)

2

，等比数列{b_n}}的前n项和为

1-(-1)n

2

，
∴n为偶数时，P_n=

n(n+1)

2

；n为奇数时，P_n=

n(n+1)

2

+1．

点评：本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．