Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞O）上的最小值；
（9）对一切的x∈（O，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x）=lnx+1（x＞0），分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调区间；
（2）对于t分类讨论：当0＜t＜

1

e

时，当

1

e

≤t时，利用导数研究函数f（x）的单调性即可得出；
（3）g′（x）=3x²+2ax-1．对一切的x∈（O，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立?对一切的x∈（O，+∞），a≥(lnx-

3

2

x-

1

2x

)max．
令h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，x∈（O，+∞），再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴函数f（x）的单调递增区间为(

1

e

，+∞)，单调递减区间为(0，

1

e

)．
（2）对于t分类讨论：
①当0＜t＜

1

e

时，函数f（x）在区间[t，

1

e

)上单调递减；函数f（x）在区间(

1

e

，t+2]上单调递增．
因此当x=

1

e

时，函数f（x）取得最小值，f(

1

e

)=-

1

e

．
②当

1

e

≤t时，函数f（x）在区间[

1

e

，

1

e

+2]上单调递增，因此当x=

1

e

时，函数f（x）取得最小值，f(

1

e

)=-

1

e

．
（3）g′（x）=3x²+2ax-1．
对一切的x∈（O，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立?对一切的x∈（O，+∞），a≥(lnx-

3

2

x-

1

2x

)max．
令h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，x∈（O，+∞），
h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=

-(3x+1)(x-1)

2x2

，
当x＞1时，．h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当0＜x＜1时，．h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=1时，函数h（x）取得最大值，h（1）=0-

3

2

-

1

2

=-2．
∴a≥-2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．