Question

设函数f（x）=x²-2x，若f（x+1）+f（y+1）≤f（x）+f（y）≤0，则点P（x，y）所形成的区域的面积为（　　）

• A、

  4π

  3

  +

  3

  2

• B、

  4π

  3

  -

  3

  2

• C、

  2π

  3

  +

  3

  2

• D、

  2π

  3

  -

  3

  2

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：将不等式进行化简，利用数形结合，结合三角形的面积公式以及扇形的面积公式即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x²-2x=x（x-2）
∴f（x+1）+f（y+1）=x²+y²-2，
f（x）+f（y）=x²-2x+y²-2y=（x-1）²+（y-1）²-2，
则由f（x+1）+f（y+1）≤f（x）+f（y）≤0得，
x²+y²-2≤x²-2x+y²-2y且（x-1）²+（y-1）²-2≤0，
即x+y-1≤0且（x-1）²+（y-1）²≤2，
不等式组对应的平面区域如图：
圆心C（1，1）到直线x+y-1=0的距离CD=

|1+1-1|

2

=

1

2

=

2

2

，
半径BC=

2

，BD=

( 2 )2-( 2 2 )2

=

6

2

，
则∠BCD=

π

3

，∠ACB=

2π

3

，
则△ACD的面积S=

1

2

×2×

6

2

×

2

2

=

3

2

，
扇形ACB的面积S=

1

2

×

2π

3

×(

2

)2=

2π

3

，
则点P（x，y）所形成的区域的面积为

2π

3

-

3

2

，
故选：C

点评：本题主要考查不等式的转化和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查了三角形的面积和扇形的面积公式，考查学生的计算能力．