Question

已知（x²-

1

5 x3

）⁵的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：数形结合,转化思想,函数的性质及应用,二项式定理

分析：根据题意，求出函数f（x）的周期是2；
在区间[-1，3]内，画出函数y=f（x）和y=kx+k的图象；
结合图象求出函数g（x）=f（x）-kx-k在[-1，3]内有4个零点时k的取值范围．

解答： 解：∵在（x²-

1

5 x3

）⁵的展开式中，
T_r+1=

C

r 5

•（x²）^5-r•(-

1

5 x3

)r=（-1）^r•

C

r 5

•(

1

5

)rx^10-2r-3r，
令10-2r-3r=0，得r=2，
∴常数项T=

C

2 5

×

1

5

=2；
∴f（x）的周期为2，且是偶函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴x∈[-1，0]时，f（x）=-x；
∴在区间[-1，3]内，画出函数y=f（x）和y=kx+k的图象，如图所示；
结合图象知，直线y=kx+k过定点A（-1，0），且k_AB=

1

3-(-1)

=

1

4

；
∴函数g（x）=f（x）-kx-k在[-1，3]内有4个零点时，
实数k的取值范围是0＜k≤

1

4

．

点评：本题考查了二项式定理与函数零点的问题，也考查了转化思想，解题时应利用函数的图象，结合零点的概念，进行解答，是综合题目．