Question

已知f（x）=

1

3

x³+x函数，则不等式f（2-x²）+f（2x+1）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：可以判断函数为奇函数，利用导数判断函数为增函数，不等式f（2-x²）+f（2x+1）＞0?2x+1＞x²-2解得即可．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+x，
∴f（-x）=-

1

3

x³-x=-f（x），
∴f（x）=

1

3

x³+x是奇函数，
又∵f′（x）=x²+1＞0，
∴f（x）=

1

3

x³+x在R上是增函数，
∴f（2-x²）+f（2x+1）＞0
?f（2x+1）＞-f（2-x²）
?f（2x+1）＞（x²-2）
?2x+1＞x²-2
?x²-2x-3＜0
?（x-3）（x+1）＜0
?-1＜x＜3
∴不等式f（2-x²）+f（2x+1）＞0的解集是（-1，3）．
故答案为（-1，3）．

点评：本题主要考查函数的单调性奇偶性的判断及应用，属于基础题．