Question

如图，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点．

(1)证明B₁C₁⊥CE；
(2)求二面角B₁­CE­C₁的正弦值；
(3)设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为，求线段AM的长．

Answer 1

（1）见解析  （2）  （3）

如图，以点A为原点，以AD，AA₁，AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B₁(0,2,2)，C₁(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1－1)，于是·＝0，所以B₁C₁⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．
设平面B₁CE的法向量m＝(x，y，z)，
则，即消去x，得y＋2z＝0，
不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B₁C₁⊥CE，又CC₁⊥B₁C₁，
可得B₁C₁⊥平面CEC₁，
故＝(1,0，－1)为平面CEC₁的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝，从而sin〈m，〉＝.
所以二面角B₁—CE—C₁的正弦值为.
(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．
可取＝(0,0,2)为平面ADD₁A₁的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD₁A₁所成的角，则
sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
于是＝，解得λ＝(负值舍去)，
所以AM＝.