题目内容
(本小题满分12分)
如图，四棱锥
中，
为矩形，平面
平面.
求证：
若
问
为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面
与平面
夹角的余弦值.
如图，四棱锥
中，为矩形，平面平面.求证：
若
问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.（1）详见解析，（2）
时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为
时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB
AD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD
平面PAD，所以ABPD（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD
平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用
表示高及底面积：设
，则
，故四棱锥P-ABCD的体积为
故当
时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.
试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故AB
AD，又平面PAD
平面ABCD平面PAD
平面ABCD=AD所以AB
平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.
故PO
平面ABCD，BC平面POG,BCPG在直角三角形BPC中，
设
，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为
故当
时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系，
故
设平面BPC的法向量
，则由
,
得
解得
同理可求出平面DPC的法向量
，从而平面BPC与平面DPC夹角
的余弦值为
练习册系列答案
活力课时同步练习册系列答案
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CD＝1，PD＝
.
？
中,
⊥平面
,
∥
，
,
分别为线段
的中点.
; 
⊥平面
.
的底面
是平行四边形，
，
,
分别是棱
的中点.
平面
；
，
中，点
在边
上，
平面
；
是
的中点，求证：
//平面
.
，求线段AM的长．
中，
，
面
，
，求面
与面
所成二面角的正切值．