Question

11．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$表示的平面区域为M，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是$[\frac{1}{3}，\;1]$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据直线和区域的关系即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
直线y=k（x+2）过定点D（-2，0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），此时k=$\frac{3}{1+2}$=$\frac{3}{3}=1$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（1，1），此时k=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
故k的取值范围是$[\frac{1}{3}，\;1]$，
故答案为：$[\frac{1}{3}，\;1]$

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的公式的计算，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．