题目内容
6．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）| A． | 20π | B． | $\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$ | C． | 5π | D． | $\frac{{5\sqrt{5}π}}{6}$ |
分析 作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．
解答 
解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．
∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，
∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=$\frac{1}{2}$，可得AO=$\sqrt{{1}^{2}+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
因此，该球的体积为V=$\frac{4}{3}$π•（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）3=$\frac{5\sqrt{5}π}{6}$．
故选：D．
点评 本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
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17．
如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且|$\overrightarrow{AF}$|=a，则该双曲线的离心率是（ ）
如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且|$\overrightarrow{AF}$|=a，则该双曲线的离心率是（ ）| A． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | B． | $\sqrt{10}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 3 |
14．抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，且△AOB的面积为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，则点B的纵坐标为（ ）
| A． | ±1 | B． | $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $±\sqrt{2}$ | D． | $±\frac{1}{2}$ |
1．若正四棱锥的侧棱长为$\sqrt{3}$，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | D． | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ |