Question

5．已知函数f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞0恒成立，得到f（x）的定义域为R，
（2）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，
（3）根据对数函数的图象和性质，即可求出函数的值域．

解答 解：（1）∵x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞x+$\sqrt{{x}^{2}}$=x+|x|≥0，
∴x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞0恒成立，
∴f（x）的定义域为R，
（2）由y=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴10^y=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴10^-y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x，
∴10^y-10^-y=2x，
∴x=$\frac{1}{2}$（10^y-10^-y），
∴所求反函数为  f^-1（x）=$\frac{1}{2}$（10^x-10^-x），
（3）∵f（x）的定义域为R，
∴f（x）的值域为R．

点评 本题考查求函数的定义域，求反函数，以及函数的值域，求出反函数，是解题的难点．