Question

14．若函数f（x）=a-bcosx的最大值为$\frac{5}{2}$，最小值为-$\frac{1}{2}$，求函数g（x）=-4asinbx的最值和最小正周期．

Answer 1

分析 函数f（x）=a-bcosx的最大值为$\frac{5}{2}$，最小值为-$\frac{1}{2}$，b≠0．当b＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=\frac{5}{2}}\\{b+a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，当b＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=-\frac{1}{2}}\\{b+a=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，分别解出a，b，再利用三角函数的周期性与单调性即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=a-bcosx的最大值为$\frac{5}{2}$，最小值为-$\frac{1}{2}$，b≠0．
当b＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=\frac{5}{2}}\\{b+a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-$\frac{3}{2}$．此时g（x）=-4sin（-$\frac{3}{2}x$）=4sin$\frac{3}{2}x$，其最小正周期为$\frac{4π}{3}$，当$sin\frac{3}{2}x$=1时取得最大值为4．
当b＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{-b+a=-\frac{1}{2}}\\{b+a=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=$\frac{3}{2}$．此时g（x）=-4sin$\frac{3}{2}x$，其最小正周期为$\frac{4π}{3}$，当$sin\frac{3}{2}x$=-1时取得最大值为4．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．