Question

16．已知圆C：x²+y²+2x-4y+m=0与y轴相切．
（1）求m的值；
（2）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求该切线方程．

Answer 1

分析 （1）把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标和半径，根据圆与y轴相切，求出m的值即可．
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求该切线方程．

解答 解：把圆的方程化为标准式方程得：（x+1）²+（y-2）²=5-m，可知圆心坐标为（-1，2），半径为$\sqrt{5-m}$
由圆的方程与y轴相切，得$\sqrt{5-m}$=1，所以m=4；
（2）直线过原点时，设方程为y=kx，即kx-y=0，圆心到直线的距离d=$\frac{|-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{3}{4}$，∴y=-$\frac{3}{4}$x；
直线不过原点时，设方程为x+y+a=0，圆心到直线的距离d=$\frac{|1+a|}{\sqrt{2}}$=1，∴a=-1±$\sqrt{2}$，∴方程为x+y-1±$\sqrt{2}$=0．
综上所述，切线方程为y=-$\frac{3}{4}$x或x+y-1±$\sqrt{2}$=0．

点评 考查学生会将圆的方程转化为标准方程并从标准方程中找出圆心坐标和半径，掌握直线与圆相切时所满足的条件．