Question

5．在△ABC中，b²=ac，cosB=$\frac{3}{4}$．
（1）求cotA+cotC的值；
（2）设△ABC的面积为sinB，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）将b²=ac代入余弦定理得出a，c的关系，进而得出b，a的关系，解出三角的正弦值，化简cotA+cotC得出答案；
（2）根据三角形的面积公式得出ac，结合（1）中a，c的关系解出a，c．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}=\frac{3}{4}$，
∴2a²+2c²-5ac=0，即2（$\frac{c}{a}$）²-$\frac{5c}{a}$+2=0，∴$\frac{c}{a}$=2或$\frac{1}{2}$．
不妨设c＞a，则c=2a．即sinC=2sinA，∴b²=ac=2a²，即b=$\sqrt{2}a$．
∴sinB=$\sqrt{2}$sinA．
∵sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∴sinA=$\frac{sinB}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$．∴sinC=2sinA=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．
∴cotA+cotC=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosAsinC+sinAcosC}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{siinAsinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{8}×\frac{\sqrt{14}}{4}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=sinB，∴ac=2．
由（1）知$\frac{c}{a}=2$或$\frac{1}{2}$，
∴a=1，c=2或a=2，c=1．
∴a+c=3．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，利用余弦定理得出a，c的关系是关键，属于中档题．