Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，当

|FG|

|OH|

取得最大值时椭圆的离心率为

 

（用数字作答）．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，所以

|FG|

|OH|

=

ac-c2

a2

=

c

a

-(

c

a

)2，最后根据二次函数的性质结合

c

a

∈（0，1），可求出

|FG|

|OH|

的最大值．

解答： 解：∵椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴椭圆的右焦点是F（c，0），右顶点是G（a，0），右准线方程为x=

a2

c

，其中c²=a²-b²．
由此可得H（

a2

c

，0），|FG|=a-c，|OH|=

a2

c

，
∴

|FG|

|OH|

=

ac-c2

a2

=

c

a

-(

c

a

)2=-（

c

a

-

1

2

）²+

1

4

，
∵

c

a

∈（0，1），
∴当且仅当

c

a

=

1

2

时，

|FG|

|OH|

的最大值为

1

4

．
故答案为：

1

2

点评：本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，属于基础题．