Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，且f（0）=0．
（1）若b=-1，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值；
（2）若b=-1，用定义证明该函数在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）函数f（x）在区间[-1，3]上具有单调性，求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若b=-1，由条件求得函数f（x）=x² -x=(x-

1

2

)2-

1

4

，再利用二次函数的性质求得函数在区间[-1，3]上的最值．
（2）若b=-1，由上可得f（x）=x² -x，再利用增函数的定义证明函数在区间（1，+∞）上单调递增．
（3）根据函数f（x）的图象的对称轴方程为x=-

b

2

，函数在区间[-1，3]上具有单调性，可得-

b

2

≥3 或-

b

2

≤-1，由此求得b的范围．

解答： 解：（1）若b=-1，函数f（x）=x² -x+c，由f（0）=0，可得c=0，∴函数f（x）=x² -x=(x-

1

2

)2-

1

4

，
在区间[-1，3]上，当x=

1

2

时，函数取得最小值为-

1

4

； 当x=3时，函数取得最大值为6．
（2）若b=-1，由上可得f（x）=x² -x，设x₂＞x₁＞1，则 f（x₂）-f（x₁）=x22-x12+x₁-x₂=（x₂+x₁）（x₂-x₁）-（x₂-x₁）
=（x₂-x₁） （x₂+x₁-1）．
由题设可得 x₂-x₁＞0，x₂+x₁-1＞0，∴（x₂-x₁） （x₂+x₁-1）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故函数在区间（1，+∞）上单调递增．
（3）由于函数f（x）的图象的对称轴方程为x=-

b

2

，函数在区间[-1，3]上具有单调性，
∴-

b

2

≥3 或-

b

2

≤-1，求得b≤-6 或b≥2．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．