Question

已知四棱锥DM如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．

（1）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；
（2）求此四棱锥的表面积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明AE⊥CD，AE⊥PD，利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面PCD．
（2）求出底面面积S_ABCD=2×2=4，和高h=2，然后亲姐姐侧面积，即可求解四棱锥P-ABCD的表面积．

解答： （1）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD
又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD
又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD
又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD…（7分）
（2）解：由题意可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，
其面积S_ABCD=2×2=4，高h=2，斜高PB=PD=2

2

．
所以四棱锥P-ABCD的表面积S=2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2

2

+

1

2

•2•2

2

=8+4

2

…（13分）

点评：本题考查张筱雨平面垂直的判定定理的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．