Question

20．设函数f（x）=3cos²（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{5}$）-2，若对任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值为4．

Answer 1

分析 先化简函数，再由已知可知f（x₁）是f（x）的最小值，f（x₂）是f（x）的最大值，它们分别在最低和最高点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．

解答 解：f（x）=3cos²（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{5}$）-2=$\frac{3}{2}$cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{2π}{5}$）-$\frac{1}{2}$，
∵对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）是函数f（x）的最小值，f（x₂）是函数f（x）的最大值．
∴|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期，
∵T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
∴|x₁-x₂|的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查三角函数的图象和最值，关键是对题意的理解，属中档题．