Question

已知函数y=f（x）对任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）

• A、

  2

  f(-

  π

  3

  )＜f(-

  π

  4

  )
• B、

  2

  f(

  π

  3

  )＜f(

  π

  4

  )
• C、f(0)＞

  2

  f(

  π

  4

  )
• D、f(0)＞2f(

  π

  3

  )

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件构造函数g（x）=

f(x)

cosx

，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：构造函数g（x）=

f(x)

cosx

，
则g′（x）=

f′(x)cosx-f(x)(cosx)′

cos2x

=

f′(x)cosx+f(x)sinx

cos2x

∵对任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）单调递增，
则g（-

π

3

）＜g（-

π

4

），即

f(- π 3 )

cos(- π 3 )

＜

f(- π 4 )

cos(- π 4 )

，
∴

2

f（-

π

3

）＜f（-

π

4

），故A正确．
∵g（

π

3

）＞g（

π

4

），即

f( π 3 )

cos π 3

＞

f( π 4 )

cos π 4

，
∴

2

f（

π

3

）＞f（

π

4

），故B错误，
∵g（0）＜g（

π

4

），即

f(0)

cos0

＜

f( π 4 )

cos π 4

，
∴f（0）＜

2

f（

π

4

），故C错误，
∵g（0）＜g（

π

3

），即

f(0)

cos0

＜

f( π 3 )

cos π 3

，
∴f（0）＜2f（

π

3

）．故D错误．
故选：A．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．