Question

9．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是AB中点，M是AA₁上一点，且AM=tAA₁．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若3AB=2AA₁，当t为何值时，B₁M⊥平面A₁CD？

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中点E，连接BE，C₁E．只需证明，面EBC₁∥平面A₁CD；即可得到BC₁∥平面A₁CD．
（2）易得CD⊥B₁M，要使B₁M⊥平面A₁CD，只需DA₁⊥MB即可，如下图，当DA₁⊥MB时，△ADA₁∽△A₁MB₁，⇒$\frac{AD}{{A}_{1}M}=\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}{B}_{1}}$，即可求得t．

解答 解：（1）如图1，取A₁B₁的中点E，连接BE，C₁E．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是AB中点，可得CD∥C₁E
又因为DB∥EA₁，DB=EA₁⇒BE∥DA₁．
且CD∩DA₁=D，BE∩C₁E=E，面EBC₁∥平面A₁CD；
∵BC₁?面EBC₁，BC₁?平面A₁CD，∴BC₁∥平面A₁CD

（2）由在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是AB中点，可得CD⊥面AA₁B₁B．
⇒CD⊥B₁M，
∴要使B₁M⊥平面A₁CD，只需DA₁⊥MB即可，如下图，
当DA₁⊥MB时，△ADA₁∽△A₁MB₁，
⇒$\frac{AD}{{A}_{1}M}=\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}{B}_{1}}$，又∵3AB=2AA₁，DAB为中点
∴$\frac{\frac{1}{2}AB}{{A}_{1}M}=\frac{A{A}_{1}}{AB}=\frac{3}{2}$⇒${A}_{1}M=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}A{A}_{1}=\frac{2}{9}A{A}_{1}$
∴$AM=\frac{7}{9}A{A}_{1}$
即当t=$\frac{7}{9}$时，B₁M⊥平面A₁CD．

点评 本题考查了空间线面平行的判定，线面垂直的判定，属于中档题．