Question

11．如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=7，AC=8，CD=6，BC⊥CD．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△BAC中，利用余弦定理求∠BAC的大小；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式，即可求四边形ABCD的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题意，在△BAC中，$cos∠BAC=\frac{{A{B^2}+A{C^2}-B{C^2}}}{2•AB•AC}=\frac{1}{2}$，（4分）
则$∠BAC=\frac{π}{3}$．（6分）
（Ⅱ）在△BAC中，$sin∠ACD=cos∠ACB=\frac{{B{C^2}+A{C^2}-A{B^2}}}{2•BC•AC}=\frac{11}{14}$，（8分）
则${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•CD•sin∠ACD=\frac{132}{7}$，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•AC•sin∠BAC=10\sqrt{3}$．
综上四边形ABCD的面积为$\frac{132}{7}+10\sqrt{3}$．（12分）

点评 本题考查解三角形的相关知识，考查余弦定理，三角形面积的计算，属于中档题．