Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A、B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A、B的动点，且△ADB面积的最大值为

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在一定点E（x₀，0）（0＜x₀＜

2

），使得当过点E的直线l与曲线C相交于A，B两点时，

1

| EA |2

+

1

| EB |2

为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由于△ADB面积的最大值为

2

，可得ab=

2

．联立

ab= 2 c=1 a2=b2+c2

，解得即可得出．
（2）当l与x轴不垂直时，设直线l的参数方程为

x=x0+tcosθ y=tsinθ

（t为参数），代入椭圆方程可得：（1+sin²θ）t²+2tx₀cosθ+

x

2 0

-2=0，利用根与系数的关系可得：

1

| EA |2

+

1

| EB |2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

4 x 2 0 cos2θ-(2 x 2 0 -4)sin2θ-(2 x 2 0 -4)

( x 2 0 -2)2

．令4

x

2 0

=-(2

x

2 0

-4)，解得

x

2 0

=

2

3

．即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵△ADB面积的最大值为

2

，∴

1

2

•2a•b=

2

，即ab=

2

．
联立

ab= 2 c=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）假设存在一定点 E（x₀，0）（0＜x₀＜

2

），使得当过点 E的直线l与曲线C相交于 A，B两点时，

1

| EA |2

+

1

| EB |2

为定值．
当l⊥x轴时，把x₀代入椭圆方程可得y²=(1-

x 2 0

2

)，
∴

1

| EA |2

+

1

| EB |2

=

2

2- x 2 0

×2=

4

2- x 2 0

．
当l与x轴不垂直时，设直线l的参数方程为

x=x0+tcosθ y=tsinθ

（t为参数），代入椭圆方程可得：（1+sin²θ）t²+2tx₀cosθ+

x

2 0

-2=0，
t₁+t₂=-

2x0cosθ

1+sin2θ

，t1t2=

x 2 0 -2

1+sin2θ

．
∴

1

| EA |2

+

1

| EB |2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

( 2x0cosθ 1+sin2θ )2- 2( x 2 0 -2) 1+sin2θ

( x 2 0 -2 1+sin2θ )2

=

4 x 2 0 cos2θ-2( x 2 0 -2)(1+sin2θ)

( x 2 0 -2)2

=

4 x 2 0 cos2θ-(2 x 2 0 -4)sin2θ-(2 x 2 0 -4)

( x 2 0 -2)2

．
令4

x

2 0

=-(2

x

2 0

-4)，解得

x

2 0

=

2

3

．
此式=

8 3 -( 4 3 -4)

(- 4 3 )2

=3．
此时

4

2- x 2 0

=3．
因此存在一定点 E（

6

3

，0）（0＜

6

3

＜

2

），使得当过点 E的直线l与曲线C相交于 A，B两点时，

1

| EA |2

+

1

| EB |2

为定值3．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线的参数方程及其应用、定长问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．