Question

已知曲线C₁：

x=1+tcos135° y=-1+tsin135°

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极坐标轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求曲线C₁与曲线C₂相交的弦长；
（2）求曲线C₁与曲线C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由C₁：

x=1+tcos135° y=-1+tsin135°

消去t得直线的普通方程．把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ后代入ρ²=x²+y²，x=ρcosθ得圆的直角坐标方程，联立直线方程和圆的方程求得交点坐标，由两点间的距离公式求弦长；
（2）直接由两曲线的直角坐标得极坐标．

解答： 解：（1）由C₁：

x=1+tcos135° y=-1+tsin135°

，得

x=1- 2 2 t y=-1+ 2 2 t

，消去t得y=-x．
由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，即x²+y²-4x=0．
联立

y=-x x2+y2-4x=0

，得

x=0 y=0

或

x=2 y=-2

．
∴曲线C₁与曲线C₂交点坐标为（0，0），（2，-2）．
∴曲线C₁与曲线C₂相交的弦长为

(2-0)2+(-2-0)2

=2

2

；
（2）曲线C₁与曲线C₂交点的坐标为（0，0），（2，-2）．
化为极坐标为（0，0），（2

2

，

7π

4

）．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，是基础题．