Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

5

3

，a²与b²的等差中项为

13

2

．求：
（1）椭圆E的方程；
（2）A，B是椭圆E上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（t，0），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆的离心率及a²与b²的等差中项为

13

2

列式求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（2）设出椭圆上A，B两点的坐标，利用点差法求得AB的斜率，进一步得到AB的中垂线方程，求出与x轴交于点P的坐标，利用AB中点的坐标的范围得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）由e=

c

a

=

5

3

，得

a2-b2

a2

=

5

9

又a²+b²=13，
∴a²=9，b²=4，
∴椭圆E的方程为

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点（x₀，y₀），则-3＜x₀＜3，
∵A，B在椭圆上，则

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1，
作差可得，

(x1-x2)(x1+x2)

9

=-

(y1-y2)(y1+y2)

4

，即

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

•

x1+x2

y1+y2

，
∴kAB=-

4

9

•

x0

y0

，
∴线段AB的垂直平分线方程为y-y₀=

9y0

4x0

（x-x₀），
取y=0得，t=

5

9

x0．
∴-

5

3

＜t＜

5

3

．
即实数t的取值范围是(-

5

3

，

5

3

)．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，训练了利用点差法求与弦中点有关的问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．