Question

如图，在直三棱柱ADE-BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点，运动向量方法证明：
（1）OM∥平面BCF；
（2）平面MDF⊥平面EFCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，则先求A，B，C，D，F，M，O等点的坐标，再求

OM

，

BA

的坐标，可证

OM

⊥

BA

，从而可证OM∥平面BCF．
（2）设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别是n₁=（x₁，y₁，z₁），n₂=（x₂，y₂，z₂）．由n1•

DF

=n1•

DM

=0，解得n₁，n₂的值，则可得n₁•n₂=0，从而可证平面MDF⊥平面EFCD．

解答：
证明：（1）由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），F（1，0，1），M（

1

2

，0，0），O（

1

2

，

1

2

，

1

2

）

OM

=（0，-

1

2

，-

1

2

），

BA

=（-1，0，0）
∴

OM

•

BA

=0
∴

OM

⊥

BA

．
∵三棱柱ADE-BCF是直三棱柱，
∴AB⊥平面BCF，∴

BA

是平面BCF的一个法向量，且OM?平面BCF，
∴OM∥平面BCF．
（2）设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别是n₁=（x₁，y₁，z₁），n₂=（x₂，y₂，z₂）．
∵

DF

=（1，-1，1），

DM

=（

1

2

，-1，0），

DC

=（1，0，0），
由n1•

DF

=n1•

DM

=0，得

x1-y1+z1=0 1 2 x1-y1=0

解得

y1= 1 2 x1 z1=- 1 2 x1

令x₁=1，则n₁=（1，

1

2

，-

1

2

）．
同理可得n₂=（0，1，1），
∵n₁•n₂=0
∴平面MDF⊥平面EFCD．

点评：本题的证明，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理．若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便，本题属于中档题．