Question

12．如图，F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a\;，\;b＞0）$的左、右两焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF₂|=|F₁F₂|，则C的离心率是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF₂|=|F₁F₂|，即可求得C的离心率．

解答 解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|=b，|O F₁|=c．∴k_PQ=$\frac{b}{c}$，k_MN=-$\frac{c}{b}$．
直线PQ为：y=$\frac{b}{c}$（x+c），两条渐近线为：y=±$\frac{b}{a}$x．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{c}（x+c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，得Q（ $\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{c}（x+c）}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得P（ $\frac{-ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
∴直线MN为y-$\frac{{bc}^{2}}{{c}^{2}{-a}^{2}}$=-$\frac{c}{b}$（x-$\frac{{a}^{2}c}{{c}^{2}{-a}^{2}}$），
令y=0得：x_M=c（1+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）．
又∵|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴3c=x_M=c（1+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$），
∴3a²=2c²
解之得：e²=$\frac{3}{2}$，即e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何形状，考查解方程组，考查学生的计算能力，属于中档题．