Question

15．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，8]，不等式lo${g}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立；命题q：对任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-$\frac{π}{4}$）|恒成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数的运算性质、不等式的性质即可得出；
（2）对于命题q：对任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-$\frac{π}{4}$）|恒成立，化简可得：m$≥\sqrt{2}$|sinx|，即命题q：$m≥\sqrt{2}$．由于p且q为假，p或q为真，可得p与q必然一真一假，解出即可得出．

解答 解：（1）命题p：对任意x∈[0，8]，不等式lo${g}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立，
∴（x+1）_max≤$（\frac{1}{3}）^{{m}^{2}-3m}$，
∴9≤$（\frac{1}{3}）^{{m}^{2}-3m}$，化为m²-3m+2≤0，解得1≤m≤2．
（2）对于命题q：对任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-$\frac{π}{4}$）|恒成立，
∴|2sinx（sinx+cosx）|≤$\sqrt{2}$m|sinx+cosx|，∴m$≥\sqrt{2}$|sinx|，
即命题q：$m≥\sqrt{2}$．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤2}\\{m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m＜1或m＞2}\\{m≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
解得$1≤m＜\sqrt{2}$，或m＞2．

点评 本题考查了对数的运算性质、不等式的性质、三角函数的化简、倍角公式和差公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．