Question

17．设f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x+ln$\frac{x}{4}$，记a_n=f（n-5），则数列{a_n}的前8项和为-2⁴．

Answer 1

分析 通过f（x）是R上的奇函数及当x＞0时的表达式可求出f（x）的表达式，利用奇函数的对称性可知问题即求a₁即f（-4）的值，代入计算即得结论．

解答 解：当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-ln$\frac{-x}{4}$，
又∵f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+ln\frac{x}{4}，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-（{2}^{-x}+ln\frac{-x}{4}），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
∵a_n=f（n-5），f（x）是R上的奇函数，
∴a₂+a₈=a₃+a₇=…=a₄+a₆=a₅=0，
∴数列{a_n}的前8项和为a₁=f（-4）=-（2⁴+ln1）=-2⁴，
故答案为：-2⁴．

点评 本题是一道关于数列与函数的综合题，涉及奇函数、数列的求和等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．