题目内容
已知函数f（x）=
sin2x+2cos2x．
（1）将f（x）的图象向右平移
个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
| 3 |
（1）将f（x）的图象向右平移
| π |
| 12 |
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+
）+1，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，即得g（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的周期性与单调性即可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
| π |
| 6 |
（2）利用正弦函数的周期性与单调性即可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
解答：
解：（1）∵f（x）=
sin2x+2•
=
sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+
）+1，
∵f（x-
）=2sin[2（x-
）+
]+1=2sin2x+1，
∴该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g（x）=2sinx+1；
（2）∵f（x）=2sin（2x+
）+1，
∴其最小正周期为T=π，
当2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z）时，函数单调递增，
解得：kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）．
| 3 |
| 1+cos2x |
| 2 |
=
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∵f（x-
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
∴该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g（x）=2sinx+1；
（2）∵f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴其最小正周期为T=π，
当2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解得：kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，突出考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题．
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