Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）求证：D₁F⊥平面ADE；
（2）若AB=1，求三棱锥D₁-DEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明D₁F⊥AE，AD⊥D₁F，即可证明D₁F⊥平面ADE；
（2）利用V_D1-DEF=V_E-D1DF，即可求三棱锥D₁-DEF的体积．

解答： （1）证明：取AB中点G，连接A₁G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F．
因为△A₁AG≌△ABE，所以A₁G⊥AE，
所以D₁F⊥AE．
因为AC₁是正方体，
所以AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，
所以AD⊥D₁F．
因为AD∩AE=A，
所以D₁F⊥平面ADE；
（2）解：因为AB=1，BC⊥平面D₁DF，
所以转换底面，三棱锥D₁-DEF的体积可转换为以△D₁DF为底面，BC为高的三棱锥，其中DD₁=BC=1，DF=

1

2

所以可得V_D1-DEF=V_E-D1DF=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

×1=

1

12

．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥D₁-DEF的体积考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．