题目内容
已知ex＞xm对任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是 ．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：利用对数的性质，将参数进行分类，构造函数，利用导数求函数的最值即可得到结论．
解答：
解：对不等式两边同时取对数得lnex＞lnxm，
即x＞mlnx，
∵x＞1，∴lnx＞0，
则不等式等价为m＜
，
设f（x）=
，函数的导数为f′（x）=
=
，
当x＞1时，f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e，
由f′（x）＜0得lnx＜1，即1＜x＜e，
即当x=e时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（e）=
=e，
∴f（x）≥e，
则m＜e，
故答案为：m＜e
即x＞mlnx，
∵x＞1，∴lnx＞0，
则不等式等价为m＜
| x |
| lnx |
设f（x）=
| x |
| lnx |
lnx-x•
| ||
| (lnx)2 |
| lnx-1 |
| (lnx)2 |
当x＞1时，f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e，
由f′（x）＜0得lnx＜1，即1＜x＜e，
即当x=e时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（e）=
| e |
| lne |
∴f（x）≥e，
则m＜e，
故答案为：m＜e
点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法，结合函数最值和导数之间的关系，求函数的最值是解决本题的关键．
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