题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求该椭圆C的方程；
（2）过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件得c=1，
=
，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，由题意知直线AB不能与x，y垂直，直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），将其代入
+
=1，整整，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，由此利用直线垂直、三角形相似、弦长公式等知识点推导出8k2+9=0，无解，从而得以不存在直线AB，使得S1=S2．
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，由题意知直线AB不能与x，y垂直，直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），将其代入
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
解答：
解：（1）依题意，得c=1，e=
=
，
即
=
，∴a=2，∴b=1，
∴所求椭圆C的方程为
+
=1．（5分）
（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，由题意知直线AB不能与x，y垂直，
∴直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），
将其代入
+
=1，整整，得：
（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，y1+y2=
，
∴G（
，
），∵DG⊥AB，
∴
×k=-1，
解得xD=
，即D（
，0），
∵△GFD∽△OED，∴
=
，∴
•
=(
)2，
即
=(
)2，
又∵S1=S2，∴|GD|=|OD|，（11分）
∴
=|
|，
整理得8k2+9=0，∵此方程无解，
∴不存在直线AB，使得S1=S2．（13分）
|0-0+
| ||||
|
| 1 |
| 2 |
即
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴所求椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，由题意知直线AB不能与x，y垂直，
∴直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），
将其代入
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -8k2 |
| 4k2+3 |
| 6k |
| 4k2+3 |
∴G（
| -4k2 |
| 4k2+3 |
| 3k |
| 4k2+3 |
∴
| ||
|
解得xD=
| -k2 |
| 4k2+3 |
| -k2 |
| 4k2+3 |
∵△GFD∽△OED，∴
| |GF| |
| |OE| |
| |DG| |
| |OD| |
| |GF| |
| |OE| |
| |DG| |
| |OD| |
| |DG| |
| |OD| |
即
| S1 |
| S2 |
| |DG| |
| |OD| |
又∵S1=S2，∴|GD|=|OD|，（11分）
∴
(
|
| -k2 |
| 4k2+3 |
整理得8k2+9=0，∵此方程无解，
∴不存在直线AB，使得S1=S2．（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图在边长为a的正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD中点，设