Question

设函数f（x）=x²-2x+m．
（1）若任意x∈[0，3]，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围；
（2）若存在x∈[0，3]，f（x）≥0成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对任意的x∈[0，3]，函数f（x）=x²-2x+m≥0恒成立，只需f（x）_min≥0恒成立，进一步求出m的范围．
（2）若存在x∈[0，3]，f（x）=x²-2x+m≥0成立，只需f（x）_max≥0成立，进一步求出m的范围．

解答： 解：（1）对任意的x∈[0，3]，函数f（x）=x²-2x+m≥0恒成立
即：f（x）_min≥0恒成立
f（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1
当x=1时，f（x）_min=f（1）=m-1
则：m-1≥0
即：m≥1
（2）若存在x∈[0，3]，f（x）=x²-2x+m≥0成立
即：f（x）_max≥0成立
f（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1
当x=3时，f（x）_max=f（3）=m+3≥0
则：m+3≥0
即：m≥-3
故答案为：（1）m≥1
（2）m≥-3

点评：本题考查的知识点：恒成立问题和存在性问题在二次函数中的应用，二次函数的顶点式与一般式的互化，及相关的运算．